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Calcolo di Pi greco con AstroRad 6

Metodo di Monte Carlo

AstroRad è il software utilizzato per il conteggio dei raggi cosmici nei rivelatori AMD5 collegati in rete al progetto ADA. In questa ultima versione sono stati corrette alcune imperfezioni e ripristinato un pannello già presente in una delle precedenti versioni (401se) che genera parole, lettere e quindi frasi casuali al passaggio dei raggi cosmici. Avendo sempre come punto focale la didattica, nella sesta versione del programma è stata aggiunta anche una scheda con la quale il progressivo passaggio dei raggi cosmici attiva il calcolo di pi greco col metodo di Monte Carlo.

cosmic rays words
Schermata del pannello "WORDS FROM SPACE"


Monte Carlo

Il metodo di Monte Carlo può essere presentato agli studenti durante l'ultimo anno della secondaria di secondo grado, in quanto è la base di molti software di modellazione matematica che permettono di trovare soluzioni a complessi problemi reali, attraverso metodi stocastici; un classico esempio è il calcolo di pi-greco.

Tipicamente la dimostrazione consiste nel disegnare un cerchio (di raggio = 1) centrato nell'origine e inscritto in un quadrato di lato doppio del raggio. In AstroRad il cerchio ha raggio R = 1, ma è centrato sulle coordinate x=1 e y=1 il quadrato ha lato L = 2.

cosmic rays pi monte carlo
Cerchio di raggio = 1 centrato in 1,1 e quadrato di lato = 2


In questo consueto esempio lanciando delle palline a caso, queste potranno cadere nell'area quadrata, all'interno, oppure all'esterno del cerchio. La probabilità che una pallina possa cadere nel cerchio è data da: (casi favorevoli)/(casi possibili) ovvero: (area del cerchio)/(area del quadrato). Poichè il cerchio ha raggio unitario, la probabilità sarà pari a π/4.

La probabilità per un numero "n" di palline lanciate, di cadere nel cerchio sarà Pn ≃ π*n/4, se il numero di palline lanciate "n" è molto grande, quelle cadute nel cerchio "m" saranno: m ≃ π*n/4, ne segue che π ≃ m/n*4. Questo è tanto più vero quanto più il numero di palline lanciate "n" tende all'infinito.

Pi in AstroRad

AstroRad normalmente registra il conteggio dei raggi cosmici, inoltre ogni volta che arriva una particella elementare vengono attivate diverse funzioni. Nella scheda per il calcolo di pi greco, la particella genera le coordinate x e y casuali (entro i valori 0-2, sia per x, sia per y) come una pallina lanciata, le coordinate cadranno sicuramente all'interno del quadrato, ma potranno cadere casualmente dentro, oppure fuori dal cerchio.

Per sapere se le coordinate della pallina (o meglio chiamiamola particella) cadono all'interno del cerchio si considera l'equazione del cerchio: R^2 = (x-h)^2+(y-k)^2 (dove h e k sono le coordinate del centro). Siccome R=1, se Sqr[(x-h)^2+(y-k)^2] ≤ 1 la "particella" sarà caduta all'interno del cerchio e in questo caso verrà incrementato il valore di m, altrimenti verrà incrementato il valore di n-m (l'area esterna al cerchio che comunque non viene considerata ai fini del calcolo).

AstroRad utilizza un codice che al passaggio di una particella attiva un loop di un secondo, in questo lasso di tempo:

-Genera coordinate random per x
-Genera coordinate random per y
-Controlla se le coordinate sono all'interno del cerchio
-Conta "n" "lanci" e "m" "eventi" e applica la funzione di probabilità.

Il loop è sufficientemente lungo per far apprezzare visivamente ciò che avviene all'arrivo di ogni raggio cosmico.

cosmic rays astrorad and pi monte carlo
La scheda per il calcolo di Pi greco in AstroRad.


Il metodo di Monte Carlo applicato con AstroRad funziona meravigliosamente bene e in genere il valore 3,1415...si raggiunge nel giro di qualche migliaio di particelle contate, con il rivelatore di muoni AMD5 sono necessari un paio di giorni di conteggio.


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